Transformasi Geometri

#Artikel #Matematika #Materi Pelajaran

Transformasi geometri adalah proses memindahkan, mengubah, atau memutar suatu objek (titik, garis, atau bidang) tanpa mengubah bentuknya. Dalam matematika, transformasi ini dapat dilakukan dalam bidang koordinat Kartesius. Ada empat jenis transformasi geometri yang umum dipelajari di kelas IX MTs: translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian).

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah pergeseran suatu objek dari satu posisi ke posisi lain. Setiap titik pada objek akan digeser dengan jarak dan arah yang sama. Translasi tidak mengubah bentuk maupun ukuran objek.

Rumus: Jika titik $A (x, y)$ ditranslasi oleh vektor translasi $T (a, b)$ , maka bayangan titiknya adalah $A^{'} (x + a, y + b)$ .
Contoh: Titik $P (2, 5)$ ditranslasi oleh $T (3, - 1)$ . Bayangannya adalah $P^{'} (2 + 3, 5 + (- 1)) = P^{'} (5, 4)$ .

2. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi adalah pencerminan suatu objek terhadap suatu garis (disebut cermin). Jarak setiap titik pada objek ke cermin sama dengan jarak bayangannya ke cermin. Bentuk dan ukuran objek tidak berubah, tetapi orientasinya bisa berbalik.

Rumus-rumus Refleksi:
- Terhadap sumbu-x: $A (x, y) \to A^{'} (x, - y)$
- Terhadap sumbu-y: $A (x, y) \to A^{'} (- x, y)$
- Terhadap garis $y = x$ : $A (x, y) \to A^{'} (y, x)$
- Terhadap garis $y = - x$ : $A (x, y) \to A^{'} (- y, - x)$
- Terhadap titik asal $O (0, 0)$ : $A (x, y) \to A^{'} (- x, - y)$
Contoh: Titik $Q (3, - 2)$ direfleksikan terhadap sumbu-x. Bayangannya adalah $Q^{'} (3, - (- 2)) = Q^{'} (3, 2)$ .

3. Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah perputaran suatu objek pada titik tertentu yang disebut pusat rotasi. Perputaran ini sejauh sudut tertentu dan dengan arah tertentu (searah atau berlawanan arah jarum jam). Rotasi tidak mengubah bentuk dan ukuran objek.

Rumus-rumus Rotasi dengan Pusat di $O (0, 0)$ :
- Rotasi 90° (berlawanan arah jarum jam): $A (x, y) \to A^{'} (- y, x)$
- Rotasi -90° atau 270° (searah jarum jam): $A (x, y) \to A^{'} (y, - x)$
- Rotasi 180°: $A (x, y) \to A^{'} (- x, - y)$
Contoh: Titik $R (4, 1)$ dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat $O (0, 0)$ . Bayangannya adalah $R^{'} (- 1, 4)$ .

4. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran objek, bisa diperbesar atau diperkecil, tetapi tidak mengubah bentuknya. Dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi dan faktor skala.

Rumus: Jika titik $A (x, y)$ didilatasi dengan pusat $O (0, 0)$ dan faktor skala $k$ , maka bayangan titiknya adalah $A^{'} (k x, k y)$ .
- Jika $k > 1$ atau $k < - 1$ , objek diperbesar.
- Jika $- 1 < k < 1$ (tetapi $k \neq = 0$ ), objek diperkecil.
- Jika $k = 1$ atau $k = - 1$ , tidak ada perubahan ukuran.
Contoh: Titik $S (2, - 3)$ didilatasi dengan pusat $O (0, 0)$ dan faktor skala 3. Bayangannya adalah $S^{'} (3 \cdot 2, 3 \cdot (- 3)) = S^{'} (6, - 9)$ .